Analyse I (partie 6) : Etudes des fonctions, développements limités

L'étude des fonctions est la discussion de certaines de ses propriétés. Pour cela, nous avons besoin de certains théorèmes permettant par exemple de trouver les variations de la fonction étudiée. Nous avons déjà vu le théorème des accroissements finis. Dans ce chapitre, nous étudions sa généralisation. Lorsque nous étudions une fonction, nous voulons aussi connaître son comportement à l'infini. Malheureusement les limites de certaines fonctions peuvent être assez compliquées à étudier, c'est pour cela que nous introduisons la règle de Bernoulli-l'Hospital et la démontrons. Cette règle utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. Après avoir étudié le comportement d'une fonction à l'infini, nous nous intéressons aussi à sa représentation graphique. Nous nous posons les questions suivantes : la fonction admet-elle un maximum ou un minimum local? La fonction admet-elle un maximum ou un minimum global? La fonction est-elle convexe ou concave? Existe-t-il des asymptotes verticales, horizontales ou obliques? Afin de pouvoir répondre à ces différentes questions, nous définissons des critères qui vont nous permettre de pouvoir étudier la fonction en détail. Finalement, nous appliquons cette théorie sur une fonction à l'aide d'un exemple. Le développement limité d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point. Il permet entre autre de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées ou encore d'étudier les propriétés de la fonction. Nous commençons par définir précisément le développement limité d'une fonction. Nous définissons aussi les fonctions de classe Cn. Au début cette formule peut paraître abstraite, nous donnons donc une interprétation graphique ainsi que des exemples pour des fonctions connues. Nous continuons à manipuler des développements limités en calculant la composition de deux développements limités à l'aide de deux exemples. Cette discussion sur les développements limités nous amène à étudier les séries entières et leur rayon de convergence. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables. Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points comme une série entière. C'est la série de Taylor. Nous étudions un exemple : la série géométrique. Nous étudions en détail la série de Taylor d'une fonction ainsi que certains contre-exemples. Finalement, nous terminons cette discussion par la formule d'Euler. Cette formule est fondée sur les développements en série entière de la fonction exponentielle avec une variable complexe et des fonctions sin et cos.