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Coursera

微积分二: 数列与级数 (中文版)

Ohio State University via Coursera

Overview

“微积分二:数列与级数”将介绍数列、无穷级数、收敛判别法和泰勒级数。本课程不仅仅满足于得到答案,而且要做到知其然,并知其所以然。

注意:此课程的注册将在2018年3月30日结束。如果您在该日期之前注册,您将可以在2018年9月之前访问该课程。

Syllabus

数列
欢迎参加本课程!我是 Jim Fowler,非常高兴大家来参加我的课程。在这第一个模块中,我们将介绍第一个学习课题:数列。简单来说,数列是一串无穷尽的数字;由于数列是“永无止尽”的,因此仅列出几个项是远远不够的,我们通常给出一个规则或一个递归公式。关于数列,有许多有趣的问题。一个问题是我们的数列是否会特别接近某个数;这是数列极限背后的概念。

级数
在这第二个模块中,我们将介绍第二个主要学习课题:级数。直观地说,将数列的项按照它们的顺序依次加起来就会得到“级数”。一个主要示例是“几何级数”,如二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一,以此类推的和。在本课程的剩余部分我们将重点学习级数,因此如果你在有些地方感到疑惑,将会有大量时间来弄清楚。另外我还要提醒你,这个课题可能会令人感到相当抽象。如果你曾经为此困惑,我保证下一个模块提供的实例会让你感到豁然开朗。

审敛法
在第三个模块中,我们学习用于确定级数是否收敛的各种审敛法:特别地,我们将说明比值审敛法、根值审敛法和积分审敛法。

交错级数
在第四个模块中,我们讲解绝对和条件收敛、交错级数和交错级数审敛法,以及极限比较审敛法。简而言之,此模块分析含有一些负项和一些正项的级数的收敛性。截至目前为止,我们已经分析了含有非负项的级数;如果项非负,确定敛散性会更为简单,因此在本模块中,分析同时含有负项和正项的级数,肯定会带来一些新的难题。从某种意义上,此模块是“它是否收敛?”的终结。在最后两个模块中,我们将讲解幂级数和泰勒级数。这最后两个课题将让我们离开仅仅是敛散性的问题,因此如果你渴望新知识,请继续学习!

幂级数
在第五个模块中,我们学习幂级数。截至目前为止,我们一次讲解了一种级数;对于幂级数,我们将讲解整个系列取决于参数 x 的级数。它们类似于多项式,因此易于处理。而且,我们关注的许多函数,如 e^x,也可表示为幂级数,因此幂级数将轻松的多项式环境带入棘手的函数域,如 e^x。

泰勒级数
在最后一个模块中,我们介绍泰勒级数。与从幂级数开始并找到其代表的函数的更好描述不同,我们将从函数开始,并尝试为其寻找幂级数。无法保证一定会成功!但令人难以置信的是,许多我们最喜欢的函数都具有幂级数表达式。有时,梦想会成真。和许多梦想相似,多数不说为妙。我希望对泰勒级数的这一简介能激起你学习更多微积分的欲望。

期末
期末测试是你展示我们一起所学东西的机会。你已经快要完成本课程。我要告诉你:成为你的数学导师之一我很荣幸,也很高兴。我非常喜欢我们一起学习本课程,并希望将来有更多课程。希望我们能再次见面。

Taught by

Jim Fowler

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