Введение в гладкие многообразия

Higher School of Economics via Coursera

Go to class Write review

This course may be unavailable.

Details

This course may be unavailable.

Go to class

Provider

Coursera
Pricing

Free Online Course (Audit)
Languages

Russian
Certificate

Paid Certificate Available
Duration & workload

10 weeks
Sessions

Finished
Subtitles

Russian

Found in

Overview

Class Central Tips

Целью нашего online-курса является дистанционное обучение слушателей основным понятиям и методам анализа на многообразиях их применению.
После прохождения курса НИУ ВШЭ слушатель сможет освоить, что такое гладкое многообразие, касательное пространство, векторное поле, дифференциальная форма на многообразии и когомологии де Рама. Уметь вычислять интегралы от дифференциальных форм по многообразию. Дифференцировать и применять другие операции над дифференциальными формами. Понимать, что такое поток векторного поля и находить его траектории. А также освоить понятия когомологий де Рама.
Предварительными требованиями к слушателю являются освоение курсов: математического анализа (в том числе нескольких переменных), линейной алгебры и основных фактов курса обыкновенных дифференциальных уравнений.

Syllabus

Гладкие многообразия

В этом модуле мы начнем с исторической справки предмета. Узнаем, как развивалась наука гладких многообразий, какие основные теоремы были предложены, имена каких ученых следует иметь в виду. Также мы начнем свое знакомство с многообразиями: рассмотрим их примеры, поговорим о ключевых определениях и терминах.

Кривые и поверхности в R^n

В этом модуле мы введем понятие параметрической кривой и кривой. Вспомним важные теоремы анализа: теоремы о неявной и обратной функции. Также будет обсуждаться понятие поверхности. Обсудим, являются ли регулярные поверхности гладкими многообразиями.

Ориентируемые многообразия

В этом модуле мы изучим понятие ориентации на многообразии. Введем понятия многообразия с краем и разберемся, как ориентация на многообразии соотносится с ориентацией на крае.

Касательное пространство

В этом модуле мы займемся изучением касательных и показательных пространств. Рассмотрим совершенно разные подходы к определению этих понятий. Изучим, что такое дифференциал отображения. В последней части модуля рассмотрим такой сложный объект, как расслоение.

Разбиение единицы и вложение многообразий в R^n

В этом модуле мы изучим понятие гладкого разбиения единицы: что это за объект и где его можно применять. Изучим такие важные понятия, как вложение и погружение многообразий. Крайне интересным случаем является вложение компактного многообразия в евклидово пространство, который объясняется теоремой Уитни.

Векторные поля и потоки

В этом модуле мы изучим понятия векторного поля на многообразии. Изучим, каким образом можно вычислять траектории потока векторного поля. Разберемся с коммутатором векторных полей, его связью с производной Ли. В конце этого модуля даже затронем группы Ли.

Тензоры и внешние формы

В этом разделе мы столкнемся с понятием тенора типа (k, l). Разберемся, что такое внешняя форма. Введем важнейшее понятие понятие дифференциальной формы. В конце этого модуля предлагается дополнительный материал о векторных расслоениях, а также сложные теоретические описание теноров и форм с помощью расслоений.

Тензоры и дифференциальные формы

В этом модуле подробно изучается понятие дифференциальной формы. Мы научимся осуществлять основные операции с дифференциальными формами: умножать и складывать, а также вычислять от них внешний дифференциал.

Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса

В этом модуле мы научимся интегрировать дифференциальные формы по многообразию. Затем мы приблизимся к ключевому моменту всего нашего курса: формуле Стокса. Это невероятно сильный результат, обобщающий формулы векторного анализа.

Когомологии де Рама

В этом модуле, сперва, мы разберемся, что такое точная форма и что такое замкнутая форма. Мы изучим понятие клеточного комплекса и введем понятие когомологий де Рама. Изучим лемму Пуанкаре и рассмотрим пример решения системы в частных производных.